[好文备份]高树的故事

Posted on Thu, 26 Aug 2010 12:08:16 -1100

        很久很久以前，在拉格朗日照耀下，有几座城：分别是常微分方城和偏微分方城这两座兄弟城，还有数理方城、随机过城。从这几座城里流出了几条溪，比较 著名的有：柯溪、数学分溪、泛函分溪、回归分溪、时间序列分溪等。其中某几条溪和支流汇聚在一起，形成了解析几河、微分几河、黎曼几河三条大河。

        河边有座古老的海森堡，里面生活着亥霍母子，穿着德布罗衣、卢瑟服、门捷列服，这样就不会被开尔蚊骚扰，被河里的薛定鳄咬伤。城堡 门口两边摆放着牛墩和道尔墩，出去便是鲍林。鲍林里面的树非常多：有高等代树、抽象代树、线性代树、实变函树、复变函树、数值代树等，还有长满了傅立叶， 开满了范德花的级树。。。。人们专门在这些树边放了许多的盖(概)桶，高桶，这是用来放尸体的，因为，挂在上面的人，太多了，太多了。。。。这些人死后就 葬在微积坟，坟的后面是一片广阔的麦克劳林，林子里有一只费马，它喜欢在柯溪喝水，溪里撒着用高丝做成的ε-网，有时可以捕捉到二次剩鱼。

        后来，芬斯勒几河改道，几河不能同调，工程师李群不得不微分流形，调河分溪。几河分溪以后，水量大涨，建了个测渡也没有效果，还是挂了很多人，连非交换代树都挂满了，不得不弄到动力系桶里扔掉。

        有些人不想挂在树上，索性投入了数值逼井（近）。结果投井的人发现井下生活着线性回龟和非线性回龟两种龟：前一种最为常见的是简单线性回龟和多元线性回龟，它们都喜欢吃最小二橙。

        柯溪经过不等市，渐近县和极县，这里房子的屋顶都是用伽罗瓦盖的，人们的主食是无穷小粮。

        极县旁有一座道观叫线性无观，线性无观里有很多道士叫做多项士，道长比较二，也叫二项士。线性无观旁有一座庙叫做香寺，长老叫做满 志，排出咀阵，守卫着一座塔方。一天二项士拎着马尔可夫链来踢馆，满志曰：“正定！正定！吾级数太低，愿以郑太求和，道友合同否？”二项士惊呼：“特真值 啊！”立退。不料满志此人置信度太低，不以郑太求和，却要郑太回归。二项式大怒在密度函树下展开标准分布，布里包了两个钗钗，分别是标准钗和方钗。满志见 状央（鞅）求饶命。二项式将其关到希尔伯特空间，命巴纳赫看守。后来，巴纳赫让其付饭钱，满志念已缴钱便贪多吃，结果在无参树下被噎死（贝叶 斯）。。。。。

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几道积分不等式习题的解题思路

Posted on Sat, 21 Aug 2010 03:59:22 -1100

例题

例1. f(x)在(a,b)上可导, \underset{[a,b]}{max}f^{\,\prime}(x)=M 且有f(a)=0证明\int_{a}^{b}f(x)dx<=\frac{M}{2}(b-a)^{2}

例2. f(x)在(a,b)上导函数连续,\underset{[a,b]}{max}f^{\,\prime}(x)=M 且有f(a)=f(b)=0证明 \int_{a}^{b}f(x)dx<=\frac{M}{4}(b-a)^{2}

例3. f(x)在(a,b)上二阶导函数连续,\underset{[a,b]}{max}f^{\,\prime\,\prime}(x)=M 且有f(a)=f(b)=0证明\vert\int_{a}^{b}f(x)dx\vert<=\frac{M}{12}(b-a)^{3}
解题思路

• 拉格朗日中值定理

f(x)-f(a)=(x-a)f^{\,\prime}(\xi)

• 分部积分法

\int_{a}^{b}udv=uv\vert_{a}^{b}-\int_{a}^{b}vdu 对于上面这类题目还要进行一些配凑,如\int_{a}^{b}f(x)d(x-a)或者是\int_{a}^{b}f(x)d(x-b)

• 泰勒公式

若某f(x)在(a,b)上有n+1阶导数,且有x_{0}\epsilon(a,b)时的\forall x\epsilon(a,b)有f(x)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum}}\frac{f^{\,\prime}(x_{0})}{i\,!}(x-x_{0})^{i}+\frac{f^{\,(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}其中\xi在x到x_{0}之间

然而对于上面的几题,泰勒公式要向下面这样用,

\forall x\epsilon(a,b)在x点展开,对于某个t\epsilon(a,b),则f(t)可表示为f(t)=\underset{i=0}{\overset{n}{\sum}}\frac{f^{\,\prime}(x)}{i\,!}(t-x)^{i}+\frac{f^{\,(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(t-x)^{n+1}其中\xi在x到t之间

而在上述几题中,将已知的f(x)=0点带入(如令t=a或t=a,t=b联立求解),求得f(x)与其高阶导数的关系,联立方程组,比较不等式后可得出结果

另外,上面三道题都可用泰勒公式求解

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